108課綱的對數

  • 對數被拆分成高一與高二內容。
  • 高一時,僅認識對數的定義,不討論運算,且底數只能為 10
  • 而高二介紹對數律、指對數函數圖形,屆時才解禁 10 以外的底數
  • 數A在課綱中明訂其學習條目:「從 10x10^x 及指數律認識 loglog 的對數律,其基本應用,並用於求解指數方程式。」
  • 數B在課綱中明訂其學習條目:「指數函數與對數函數及其生活上的應用,例如地震規模,金融與理財,平均成長率,連續複利ee 的認識,自然對數函數。」
  • 由上可知,數B不涉及太複雜的對數方程式運算,且要懂自然常數自然對數

高次方數估計

指對數的眾多題型中,除了集大成之後複雜的方程式、不等式問題,比較令學生們頭疼的就是高次方數估計了——「很不直覺!為什麼要用到對數?」

然而,別忘了對數存在的意義:對數一開始被發明,就是為了處理龐大數字的運算。要知道,當時沒有計算機呢!

連拉普拉斯都這樣評價對數:

對數,延長了天文學家的壽命。

所以以後遇到大數估計,試想看看,loglog 是否有機會出場?

看看例題:

31003^{100} 之首數與位數。

嗯,我們請對數上場看看……

log3100=100log3100×0.4771=47.71\log{3^{100}}=100\log3\approx100\times0.4771=47.71

發現 log3\log3 對於我們來說是已知(若非已知,亦可查表,當年對數表就是這樣用的),應有用處!

因:

log310047.71\log{3^{100}}\approx47.71

所以我們現在的問題變成:

logx=47.71\log x=47.71

而此題幹僅要求首數與位數,故我們不妨令未知數為科學記號:

log(a×10n)=nlog10+loga=n+loga=47.71n=47, loga=0.715<a<6\log({a\times 10^n})=n\log10+\log a=n+\log a=47.71 \\ \Rarr n=47,\ \log a=0.71 \\ \Rarr 5<a<6

如此可知,位數為 48 位,且首數為 5。

實際按計算機可知,數字大約是 5.15377520732011e475.15377520732011e47,與估計相符。

為什麼不直接按計算機?

然而,依然有些比較慧黠的孩子會感到疑惑:「課綱明明引進了計算機的使用,為什麼這類可以交給計算機的存粹運算問題,還要我們學會估計呢?」

這部分,其實課本也有稍微提到一個理由:

計算機有位數限制!

實際上,計算機也有算力的極限。這部分就牽涉到了比較複雜的計算機概論、計算機結構,如有興趣可試查詢「溢位」或英文 overflow。

以我手上的 iPhone 跟 Mac 為例,他們內建的計算機,最大可顯示的數字為 9.99999999×101609.99999999\times 10^{160};Google 的計算機(可在 chrome 的網址列上直接運算)的最大限制則是 210242^{1024} ——根據設備的不同、處理器的不同、芯片架構的不同,限制各異。

若手上也有 ios 體系的計算機,可以分別試著按按 25342^{534}25352^{535},會發現後者超出限制後報錯。

而這時候,遇到過於浮誇大數,就只能利用上述的方式估計了。

其他估計問題

然而並不是所有估計問題都適合採用對數,例如:

二項式定理

試估計 0.9980.99^{8} 的小數第三位之數字。

此時若有完整的對數表,當然還是可以查表答題,但若沒附表,顯然就不適合了!此時:

0.998=(10.01)80.99^8=(1-0.01)^8

是否有想到能利用二項式定理呢?

歸納規律

試問 168168168^{168} 的個位數字。

注意這時候問的是尾數,對數估計顯然已經沒辦法滿足其所求精度了。那麼……

高中生有時候看到這種題目會傻眼貓咪、直接當機。可是實際上,國中、甚至國小就能答這題了:

842688 \rarr 4 \rarr 2 \rarr 6 \rarr 8 \rarr \cdots

如果你就是此時目瞪口呆的高中生,那顯然你也陷入了學識越豐富,卻越有先入為主概念與既定印象的「知見障」之中。此時不妨把無趣的題目們當做是腦筋急轉彎,輕鬆看待,多多發散思考!