指數對數：高次方數估計（求首數與位數）

108課綱的對數

• 對數被拆分成高一與高二內容。
• 高一時，僅認識對數的定義，不討論運算，且底數只能為 10。
• 而高二介紹對數律、指對數函數圖形，屆時才解禁 10 以外的底數。
• 數A在課綱中明訂其學習條目：「從 $10^x$ 及指數律認識 $log$ 的對數律，其基本應用，並用於求解指數方程式。」
• 數B在課綱中明訂其學習條目：「指數函數與對數函數及其生活上的應用，例如地震規模，金融與理財，平均成長率，連續複利與 $e$ 的認識，自然對數函數。」
• 由上可知，數B不涉及太複雜的對數方程式運算，且要懂自然常數、自然對數。

高次方數估計

指對數的眾多題型中，除了集大成之後複雜的方程式、不等式問題，比較令學生們頭疼的就是高次方數估計了——「很不直覺！為什麼要用到對數？」

然而，別忘了對數存在的意義：對數一開始被發明，就是為了處理龐大數字的運算。要知道，當時沒有計算機呢！

連拉普拉斯都這樣評價對數：

對數，延長了天文學家的壽命。

所以以後遇到大數估計，試想看看，$log$ 是否有機會出場？

看看例題：

問 $3^{100}$ 之首數與位數。

嗯，我們請對數上場看看……

$$\log{3^{100}}=100\log3\approx100\times0.4771=47.71$$

發現 $\log3$ 對於我們來說是已知（若非已知，亦可查表，當年對數表就是這樣用的），應有用處！

因：

$$\log{3^{100}}\approx47.71$$

所以我們現在的問題變成：

$$\log x=47.71$$

而此題幹僅要求首數與位數，故我們不妨令未知數為科學記號：

$$\log({a\times 10^n})=n\log10+\log a=n+\log a=47.71 \\ \Rarr n=47,\ \log a=0.71 \\ \Rarr 5<a<6$$

如此可知，位數為 48 位，且首數為 5。

實際按計算機可知，數字大約是 $5.15377520732011e47$，與估計相符。

為什麼不直接按計算機？

然而，依然有些比較慧黠的孩子會感到疑惑：「課綱明明引進了計算機的使用，為什麼這類可以交給計算機的存粹運算問題，還要我們學會估計呢？」

這部分，其實課本也有稍微提到一個理由：

計算機有位數限制！

實際上，計算機也有算力的極限。這部分就牽涉到了比較複雜的計算機概論、計算機結構，如有興趣可試查詢「溢位」或英文 overflow。

以我手上的 iPhone 跟 Mac 為例，他們內建的計算機，最大可顯示的數字為 $9.99999999\times 10^{160}$；Google 的計算機（可在 chrome 的網址列上直接運算）的最大限制則是 $2^{1024}$ ——根據設備的不同、處理器的不同、芯片架構的不同，限制各異。

若手上也有 ios 體系的計算機，可以分別試著按按 $2^{534}$ 跟 $2^{535}$，會發現後者超出限制後報錯。

而這時候，遇到過於浮誇大數，就只能利用上述的方式估計了。

其他估計問題

然而並不是所有估計問題都適合採用對數，例如：

二項式定理

試估計 $0.99^{8}$ 的小數第三位之數字。

此時若有完整的對數表，當然還是可以查表答題，但若沒附表，顯然就不適合了！此時：

$$0.99^8=(1-0.01)^8$$

是否有想到能利用二項式定理呢？

歸納規律

試問 $168^{168}$ 的個位數字。

注意這時候問的是尾數，對數估計顯然已經沒辦法滿足其所求精度了。那麼……

高中生有時候看到這種題目會傻眼貓咪、直接當機。可是實際上，國中、甚至國小就能答這題了：

$$8 \rarr 4 \rarr 2 \rarr 6 \rarr 8 \rarr \cdots$$

如果你就是此時目瞪口呆的高中生，那顯然你也陷入了學識越豐富，卻越有先入為主概念與既定印象的「知見障」之中。此時不妨把無趣的題目們當做是腦筋急轉彎，輕鬆看待，多多發散思考！