108課綱的等比級數

  • 「連續複利」僅出現於數B、「連續複利」僅出現於數B、「連續複利」僅出現於數B，很重要所以講三遍。
  • 當有一個內容是數B的特產時，那麼學測數B的出題機率，就會大大提升。故，學習等比級數時，需特別留意「連續複利」。

複利：當「年利率」遇到「以月計息」

遙想當初還是學生的時候，看到以下這種題幹時愣住了：

小明借錢一百萬，年利率 12%，每個月計息一次，問一年後需還款多少錢？

我心想，不就是 1000000∗(1+12%)=11200001000000*(1+12\%) = 1120000 嗎？你年利率都告訴我了，難不成是陷阱嗎？後來被題海馴化以後，反正題會答、分數能拿，也就不計較這事兒了。有些事，後來才漸漸明白……

是的，它就是個陷阱，但那不是數學考試的陷阱，而是資本主義的陷阱。這個陷阱簡單展開來講就是：

「年利率 12%，每個月計息一次」是個美好的假象——其真正的內含是「月利率 1%」。

你說，這不是廢話嗎？我說，才不是！實際上：

「月利率 1%」根本就不會等於「年利率 12%」！

何以見得？我們算算看 1.0112≈1.12681.01^{12}\approx 1.1268 就知道，明明是「年利率 12.68%」，被換了個說法，就變成「年利率 12%」了，擺明騙人不懂數學！

所以剛剛的小明，最後要還的款項總額是 1000000∗(1+1212%)12=11268251000000*(1+\frac{12}{12}\%)^{12} = 1126825 ，硬生生比字面上簡單想象的價碼還貴了將近七千元……

那既然每月計息，為什麼不一開始就定義月利率就好呢？為什麼如此多此一舉的論述方式，會一直存在於金融系統之中呢？這我無法考證，但我認為原因很簡單：

  • 因為最後數字差距不大（即使我上面講得如訴如泣，不過比例上其實差距不大），而以「年」作為單位進行試算也是多數民眾甚或是投資人的習慣了，於是乾脆都用「年」來作為代表。

總而言之，當「年利率」遇到「以某某期計息」時，結論就是要將年利率除以計息頻率。

分期付款

處理分期付款的問題，首先可能碰到的狀況為「我是先繳了第一期的欠款後才計第一次息，還是先計息了才繳第一期的欠款呢？」

若以此題為例：

小明抵押貸款一百萬，年利率 1%。若每年固定攤還相同金額的本息，分 10 年繳清，問每年需攤還多少錢？

開始列式思考時，就會開始猶豫應該是：

1.01(⋯(1.01(1.01(1000000−x)−x)−x)⋯)−x=01.01\Bigg(\cdots\bigg(1.01\Big(1.01(1000000-x)-x\Big)-x\bigg)\cdots \Bigg)-x=0

還是：

1.01(⋯(1.01(1.01(1000000)−x)−x)⋯)−x=01.01\Bigg(\cdots\bigg(1.01\Big(1.01(1000000)-x\Big)-x\bigg)\cdots \Bigg)-x=0

上面的是「先繳了第一期的欠款後才計第一次息」；下面的是「先計息了才繳第一期的欠款」。

在這邊直接告訴你答案跟理由：

一定是「先計息了才繳款」——不然第一期不就讓你零利率付掉了嗎？以放貸方的角度來看並不合理，故得結論。

再繼續算下去就會得到：

1.01(⋯(1.01(1.01(1000000)−x)−x)⋯)−x=0⇒1.0110−1.019x−1.018x−⋯−x=0⇒1.0110=x+1.01x+1.012x+⋯+1.019x1.01\Bigg(\cdots\bigg(1.01\Big(1.01(1000000)-x\Big)-x\bigg)\cdots \Bigg)-x=0 \\ \Rightarrow 1.01^{10}-1.01^9x-1.01^8x-\cdots-x=0 \\ \Rightarrow 1.01^{10} = x + 1.01x +1.01^2x+\cdots+1.01^9x

此時就是快樂的等比級數帶公式時間了：

1.0110=x+1.01x+1.012x+⋯+1.019x⇒1.0110=x(1.0110−11.01−1)1.01^{10} = x + 1.01x +1.01^2x+\cdots+1.01^9x \\ \Rightarrow 1.01^{10} = x(\dfrac{1.01^{10}-1}{1.01-1})

因為分期「付款」的題目比起「存款」來得少，看到難免會嚇到，不過實際列式後會發現，最後依然成了連加的問題。

補充：等額本息與等額本金

然而在真實金融世界中，分期還款又分為「等額本息」與「等額本金」。在上述例子中，其還款方式為「等額本息」，也就是每期都還「相同金額」。

而「等額本金」則每期還「固定的本金」與「當期產生的利息」：所以初期的還款金額會比較大，但後期會漸漸越來越小。而因為一開始還的多，最後還的總額會比「等額本息」還少。行有餘力的同學可以自行試算。

定期定額

至於定期定額則相對直觀得多，只要瞭解其計息模式，將算式列出，一切呼之欲出。

例題：

劉昕每個月定期定額投入 40000 元到月報酬率 1% 的某指數股票型基金之中，問 10 個月後，劉昕的資產會有多少？

計算：

1.01(⋯1.01(1.01(1.01(40000)+40000)+40000)⋯+4000)=40000(1.0110+1.019+1.018+⋯+1.01)1.01\Bigg(\cdots1.01\bigg(1.01\Big(1.01(40000)+40000\Big)+40000\bigg)\cdots +4000\Bigg) \\ = 40000(1.01^{10}+1.01^9+1.01^8+\cdots+1.01)

到這邊以後，僅需注意代入公式時別太忘情，看清楚首項在這個例子是 40000 呢？還是 40400 呢？顯然是後者才方便我們使用等比級數來計算，所以我們寫成：

40000(1.0110+1.019+1.018+⋯+1.01)=40400(1+1.01+1.012+1.013+⋯+1.019)=40400(1.0110−11.01−1)40000(1.01^{10}+1.01^9+1.01^8+\cdots+1.01) \\ = 40400(1+1.01+1.01^2+1.01^3+ \cdots +1.01^9) \\ = 40400(\dfrac{1.01^{10}-1}{1.01-1})

而參考答案，大約是 422673。