三次函數：111數A怎麼考？反正就是不考計算

108課綱的三次函數

• 108 課綱之後開始討論「三次函數」的函數圖形。
• 因為是新東西，學測很容易被出題，合情合理。

111學測數A例題

來看看學測怎麼考：

高中生嚇傻了。為了三次函數一生懸命，練就了一身高強的綜合除法，此處卻無用武之地。

沒錯，學測素養化的結果就是，只會計算是行不通的。這樣教育上的典范轉移我個人非常樂見，你各位高中生速速跟上！

解題心路供參

遇到三次函數，因為圖形可能性也就那幾種，先根據題幹勾勒出簡單的函數圖形往往是個好的開始。

第一個敘述的 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$ 告訴我們，$f(x)$ 會經過 $(0,3)$。

第二個資訊 $g(x)=f(-x)-3$ 在說什麼？這裡順便考你圖形的伸縮翻轉平移。此處 $g(x)$ 是 $f(x)$ 對 y 軸做鏡像翻轉後再往下平移 3 個單位。此時我們可以回推知道，$g(x)$ 會經過 $(0,0)$。

第三個資訊給了 $g(x)$ 的對稱中心 $(1,0)$，透過回推，我們可以知道 $f(x)$ 的對稱中心在 $(-1,3)$ 。

整理一下兩個圖形：

• $f(x)$ 對稱中心 $(-1,3)$ 且通過 $(0,3)$，那我們順便知道必定也過 $(-2,3)$。
• $g(x)$ 對稱中心 $(1,0)$ 且通過 $(0,0)$，那我們順便知道必定也過 $(2,0)$。

此時我們勾勒看看，發現這兩個三次函數必定只能是帶有兩個頂點的形狀。

此時根據第四個資訊 $g(-1)<0$，可以知道 $g(x)$ 的圖形宏觀上朝右上發展，$f(x)$ 則反之。所以可知 $a<0$。

至此，看向選項。

選項 1 根據我們勾勒出來的圖形（有兩個頂點）可知為真。

選項 2 透過第四個資訊得知為真。

選項 3 是錯的，我們已經點出來了。

選項 4 就有點考驗第一直覺了。因為我們畫出來的圖中， $f(x)$ 長遠來說會往左下走，很容易直接就選下去。但是！領導係數此處並沒有說死，所以任何誇張的形狀都是有機會的，此時必須劍走偏鋒，試著畫畫看極端案例。

選項 5 就很簡單了，對稱中心附近的一次近似斜率本來就跟領導係數沒有關係。